Estadística

ESTADÍSTICA Conceptes L’Estadística és una ciència que tracta d’interpretar les dades (que provenen per regla general de cens o enquestes) relatius al comportament de diferents fenòmens. L'Estadística ens permet analitzar les dades obteses d'una mostra representativa amb l'objectiu d'explicar comportaments i prendre decisions. Estadística és recopilar, ordenar i classificar dades de qualsevol tipus d'esdeveniment per poder presentar-los a un públic general de manera clara i coherent. Per tant podem dir que els passos a seguir en un estudi estadístic són: Recopilar les dades Ordenar les dades i classificar-los Analitzar i presentar de manera clara aquestes dades amb certes conclusions finals Per a poder fer un estudi estadístic necessitem conèixer els següents conceptes: Població: conjunt sobre el que anem a fer l’estudi. Individu: cadascun dels elements que formen la població. Variable estadística: cadascuna de les característiques que es poden estudiar en una població. Mostra: subconjunt de la població. Aquest subconjunt és molt important que siga representatiu de la població. Tipus de variables estadístiques Variables qualitatives Tota aquella informació que no es pot representar com un nombre, per tant es tracta de característiques o qualitats. Per exemple un estudi de la professió dels pares de cada alumn@, o el seu estat civil. Qualsevol d'aquests estudis està determinat per variables que no són numèriques. Variables quantitatives Són aquelles que s'expressen mitjançant un nombre, és a dir, una quantitat. Aquí establirem 2 tipus: Discretes: La variable només admetrà valors aïllats, per exemple el nombre de germans de cada alumne, podrà ser 0, 1, 2, 3, etc ..., però mai valors intermedis. Contínues: En aquest cas la variable pot prendre qualsevol numèric, i per tant entre 2 valors sempre hi pot haver un altre entre mig. Com a exemple podem establir l'alçada de l’alumnat de la nostra classe, on, ajustant bé el metro, podem tenir un@ alumn@ que mesure 160cm, un@ altr@ 168cm, i un@ altr@ que mesuri 167'4cm, o 167,35cm. Podem ajustar tant com vulguam o com l'exercici estadístic ens demane. Taula de freqüències Hem vist les variables estadístiques i hem realitzat la nostra recollida de dades en la mostra seleccionada dins la nostra població. Bé, ara hem d'organitzar aquestes dades i la millor manera per fer-ho és mitjançant una taula. A aquesta taula, que ens permet visualment tenir accés a tota la informació recopilada l'anomenarem taula de freqüències. Tipus de freqüències Freqüència absoluta És el nombre de vegades que apareix un determinat valor en l'estudi estadístic. Si anomenem xi a un valor o rang de valors que pot prendre la variable estadística fi serà el nombre de vegades que apareix un valor que pertany a xi en la mostra realitzada. La suma de totes les freqüències absolutes ens donarà com a resultat el nombre total N de dades recopilades. f1+f2+f3+···+fn=N Freqüència relativa La freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida per N ni=fi/N Freqüència acumulada. La suma de freqüències absolutes de tots els valors iguals o inferiors al valor considerat, es representa per Fi Mesures de centralizació En estadística, els paràmetres o mesures estadístiques que informen sobre la tendència habitual o central de les dades d'una distribució es diuen mesures de tendència central. Mitjana aritmètica La mitjana aritmètica es defineix com la suma de totes les dades dividida entre el nombre total d'aquestes. Com que habitualment disposarem d'una taula de dades amb les seves freqüències, aplicarem: La mitjana no té per què ser un valor propi de la variable. És molt sensible a valors extrems en les dades. Es comporta de forma natural en relació a les operacions aritmètiques. Mediana La mediana és el valor de la variable estadística més gran que el 50% de les observacions. Així doncs, la mediana divideix en dues parts iguals la distribució estadística. Entre les propietats de la mediana, es poden destacar: -Com a mesura descriptiva no es veu tan afectada com la mitjana per la presència de valors extrems. -És de càlcul ràpid i de fàcil interpretació. -Té propietats matemàtiques complicades que fan que siga poc utilitzada en inferència estadística. Moda La moda és el valor de la variable estadística que té la freqüència absoluta més gran. Si existeixen diferents valors amb aquesta característica, llavors la distribució té diferents modes, es diu que és plurimodal. Aquesta mesura de centralizació és sens dubte la més fàcil de calcular. S'utilitza com a complement a la mitjana aritmètica i la mediana perquè ella sola no dóna una informació determinant de la distribució. No és tan sensible com la mitjana aritmètica a valors extrems. EXERCICIS Mesures de centralització 1. Xavier ha tirat un dau 10 vegades i ha obtingut els resultats següents: 6, 3, 1, 4, 2, 2, 1, 4, 3, 4 Calcula la mitjana aritmètica. 2. Raquel ha tingut les següents notes als seus exàmens de Llengua: 7, 5, 6, 4, 7, 10, 7. Calcula la mitjana aritmètica. 3. S'ha mesurat la grandària de la mà de 10 alumn@s, i el resultat en centímetres ha estat: 19, 18, 21, 21, 18, 17, 18, 17, 19, 21 Calcula la mitjana aritmètica 4. Ens interessa conèixer la distribució de notes obtingudes per 20 estudiants. Les notes són: 2, 8, 9, 0, 0, 5, 8, 2, 7, 1, 6, 3, 7, 2, 4, 9, 4, 9, 5, 1 a)Escriu al teu quadern una taula de freqüències absolutes. b)Fes un diagrama de línies de freqüències absolutes. c)Calcula la mitjana. 5. Els jugadors d'un equip de bàsquet ténen les edats següents: 13, 12, 14, 11, 12, 12 Calcula la mitjana aritmètica 6. Fem una enquesta preguntant a 10 famílies quantes fills tenen. Els resultats són: 0, 1, 0, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 1 Calcula la mitjana. 7. Pepa ha tirat un dau 25 vegades i ha obtingut els resultats següents: 1, 2, 5, 6, 3, 1, 4, 5, 6, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 2, 2, 4, 3, 4, 6, 6, 1, 4 a)Calcula la mitjana aritmètica b)Calcula la mediana c)Quina és la moda? És única? 8. Sara ha tingut les següents notes als seus exàmens de Matemàtiques: 9, 7, 8, 6, 9, 10, 9 a)Calcula la mitjana aritmètica b)Calcula la mediana c)Quina és la moda? És única? 9. S'ha tingut el resultat de mesurar en una classe la grandària de les mans de cada un dels alumnes, i el resultat en centímetres ha sigut el següent: 19, 18, 20, 19, 18, 21, 19, 17, 16, 20, 16, 19, 20, 21, 18, 17, 20, 19, 22, 21, 23, 21, 17, 18, 17, 19, 21, 20, 16, 19 a)Calcula la mitjana aritmètica b)Calcula la mediana c)Quina és la moda? És única? 10. Ens interessa conèixer la distribució de notes obtingudes per 40 estudiants. Les notes són: 4, 1, 7, 10, 3, 2, 8, 9, 0, 0, 5, 8, 2, 7, 1, 2, 8, 10, 2, 10, 3, 4, 8, 9, 3, 6, 3, 7, 2, 4, 9, 4, 9, 5, 1, 3, 3, 9, 7, 8, 10 Escriu al teu quadern una taula de freqüències absolutes. Fes un diagrama de línies de freqüències absolutes. Calcula la mitja Calcula la mitjana Calcula la moda Mesures de dispersió Variància és la mitjana dels quadrats de les distàncies de les dades a la mitjana. Desviació típica és l'arrel quadrada de la variància. Es representa per σ EXERCICIS 1. Tira una moneda 100 vegades i anota els resultats obtinguts: C, C, x, .... Construeix una nova llista anotant, cada vegada que haja eixit cara, el resultat següent: C, x, ...Confecciona després dues taules: una de freqüències absolutes i una altra de freqüències relatives. Representa els resultats en un diagrama de barres i en un diagrama de sectors. 2. Es coneix el volum setmanal de residus sòlids arreplegats en m3 durant les 52 setmanes d'un any, en un municipi xicotet: 25'5, 27'1, 31'8, 34'2, 38'9, 21'3, 28'7, 33'2, 36'5, 39'6, 25'2, 24'7, 23'2, 23'3, 22'2, 26'4, 26'7, 29'6, 31'3, 30'5, 28'3, 29'1, 26'7, 25'2, 24'5, 23'7, 25'4, 27'2, 31'7, 34'5, 38'4, 21'2, 28'1, 33'7, 36'8, 39'9, 31'7, 34'4, 38'2, 21'9, 28'1, 33'5, 25'2, 24'7, 23'2, 23'3, 22'2, 26'4, 25'9, 24'1, 23'2, 23'6, 26'4. Calcula la mitjana, la moda, la mediana , la variància i la desviació típica 3. Amb les dades del problema anterior: a) Representa les dades en una taula prenent intervals de longitud dos m3: (21, 23), (23,25),... (39, 41) b) Dibuixa un diagrama de rectangles i un diagrama de línies de freqüències absolutes.. c) Quantes famílies tenen un volum de fem major que 31 m3? d) Quin percentatge de famílies tenen un volum de fem menor que 35 m3? 4. Busca en revistes o periòdics dues gràfiques estadístiques, retalla-les i apega-les al teu quadern. Moltes vegades aquestes gràfiques tenen errors. Observa-les detingudament i comenta les qüestions següents: a)Està clara la variable a què es referix? I les freqüències? b)Són correctes les unitats? Poden millorar-se? c)Comenta les gràfiques